4. Clasificación de Cristales

Las abstracciones de celda unitaria, red y simetría a las cuales ya se ha hecho referencia conducen a la posibilidad de clasificar todos los cristales en sistemas bien definidos. Sobre bases matemáticas se puede demostrar que sólo existen siete tipos de celdas unitarias posibles (los 7 sistemas cristalinos) pero, debido a que algunos son capaces de replicarse a ellos mismos en una red en más de una forma, existen 14 redes posibles (las así llamadas redes de Bravais (Tabla 3).

 

Sistema Longitudes axiales y ángulos Red de Bravais Simbolo de la red

Cúbico Simple P

Centrado en cuerpo I

Centrado en caras F

Tetragonal Simple P

Centrado en cuerpo I

Ortorrómbico Simple P

Centrado en cuerpo I

Centrado en las bases C

Centrado en caras F

Romboédrico* Simple R

Hexagonal Simple P

Monoclínico Simple P

Centrado en las bases C

Triclínico Simple P

* También llamado Trigonal.

Existen 32 formas en las cuales pueden arreglarse los elementos de simetría que se pueden detectar por examen visual o morfológico. (los 32 grupos puntuales) pero, si se incluyen todas las simetrías posibles en la escala atómica, existen entonces 230 arreglos posibles (los 230 grupos espaciales).

Es interesante e importante recordar que ningún cristal tiene puede tener un eje de simetría de orden 5, sin embargo, las moléculas individuales pueden tener tal tipo de eje de simetría. Un cristal no puede tener un eje de simetría de orden 5 debido a que no hay forma de empacar por traslación un número infinito de celdas unitarias que tengan una sección transversal pentagonal de tal forma que ellas llenen el espacio completamente.

Debido a que la simetría de los grupos espaciales es de poca importancia en las aplicaciones a ser descritas, este tema no será abordado. Desde luego, un entendimiento completo de los 230 grupos espaciales es necesario para cualquiera que lleve a cabo la determinación de estructuras moleculares por difracción de rayos X.

Será ahora útil considerar el concepto de familias de planos que pasan a través de un cristal y su designación mediante el uso de los índices de Miller. Comenzaremos considerando líneas en dos dimensiones.

 

Figura 10

Si unimos las esquinas de las celdas unitarias, o cualquier otro punto dentro de la celda, con líneas rectas generamos familias de líneas. Todas las líneas en una familia son paralelas a las demás y pasan a través del mismo número de puntos de la red . La figura 10 muestra tres ejemplos.

 

Figura 11

Considere la figura 11 (a). A través de cada celda sólo hay un plano. Comience por el punto de la red en la esquina inferior izquierda, y considere éste como el origen. Usted viajará a lo largo de la dirección vertical una arista de celda antes de encontrar tal línea; si usted viaja a lo largo del eje horizontal se moverá una arista de celda antes de encontrar una línea. Considere el conjunto de planos en el esquema 11 b. Comience en el origen y muévase a lo largo del eje vertical. Entrará en contacto con tres líneas antes de que alcance el primer punto de la red a lo largo de esa arista. Si se mueve a lo largo de la dirección horizontal, entrará en contacto con sólo una línea antes de que alcance el primer punto de la red. En el esquema 11 (c) al moverse a lo largo de la dirección vertical desde el origen, hacia el primer punto de la red, usted contactará sólo una línea; moviéndose a lo largo de la dirección horizontal, cruzará dos líneas. Debe ser bastante obvio que se puede describir la geometría de esas líneas simplemente en términos de cuantas cortan una arista de la celda unitaria o en que número de partes iguales esta familia de líneas cortará una arista de la celda unitaria. En el esquema (a), la familia corta el eje vertical en uno y el horizontal en uno. En el esquema (b), el eje vertical está cortado en tres, el eje horizontal en uno. En el esquema (c), el eje vertical está cortado una vez, mientras que el eje horizontal está cortado en dos. Así que los planos en el esquema a podrían designarse 1:1; los de (b) podrían designarse 3:1, aquellos en (c) podrían designarse 1:2. El signo de la pendiente de los planos es obviamente diferente en (b) y (c) así que tendremos que definir las direcciones positiva y negativa a lo largo de las aristas de la celda. Defina la dirección vertical, comenzando en la esquina inferior izquierda, hacia arriba como positivo y en la dirección horizontal, hacia la derecha como positivo. Encontraríamos entonces que en (a), podría numerar estos planos como (+1 +1), en (b) se podrían designar como (+3 +1) y en (c) la designación sería (+1 -2). Estos números que pueden ser asignados a las líneas se llaman Índices de Miller, y son característicos de estas líneas. Es obvio que mientras mayores son los Índices de Miller que podemos asignar a la familia de líneas, más cerca se encontrarán las líneas; en otras palabras, será menor la distancia perpendicular entre líneas paralelas adyacentes. También debe ser obvio que la distancia entre cualquier par de líneas será la misma sin importar en que parte del cristal se encuentre debido a que las celdas unitarias son del mismo tamaño. Lo que se hizo aquí en dos dimensiones se extiende fácilmente a tres dimensiones. Entonces, cualquier plano que pase a través de un cristal y que toca el conjunto de puntos de la red - en otras palabras, que pasa por la esquinas de la celda unitaria - puede identificarse por una tripleta de números enteros; los Índices de Miller. Los símbolos usados son las letras alfabéticas (hkl). Podemos describir cualquier plano en un cristal mediante tres enteros y estos número pueden tener signos + o -. Un índice negativo, -n, se escribe usualmente como por comodidad. Familias típicas de planos muy espaciados podrían ser: (110), etc.: planos tales como (742), etc., estarán mucho más juntos.

Copyright © 1981, 1997 International Union of Crystallography