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(D) Groupes Spatiaux de Symétrie--Principe de Neumann

Lorsque la structure du cristal contient uniquement (en plus des translations du réseau) des O.P.S, (c'est-à-dire qu'il n'y a pas de rotations hélicoïdales ou de réflexions avec glissement), comme c'est le cas pour les structures bidimensionelles représentées sur les Fig. 6 et 6$^{\prime}$, le groupe spatial de symétrie est défini de la façon suivante:

Definition: Groupe spatial de symétrie (G.S.S.). Dans ce cas, le G.S.S. est le produit du G.P.S. du cristal par le groupe de translations qui définit son réseau (cf. (A) Théorème). Ainsi dans le symbole du G.S.S. on retrouve le symbole du réseau suivi de celui du G.S.S. Exemples:

$$\begin{array} {lcccc} \mbox{No de la Fig.} & 1 & 2,6 & 3 & 6... ...me\prime} \\ \mbox{G.S.S.} & p1 & p mm2 & c mm2& p m\end{array}$$

On remarque que le G.P.S. est un groupe fini alors que le groupe de translations et le G.S.S. sont des groupes infinis. Mais la symétrie du cristal peut être engendrée à partir de glismiroirs.

Définitions: glissymétrie--glismiroir . Symétrie par rapport à un plan suivi d'une translation parallèle à ce plan, appelé glismiroir.

Exemple : sur la Fig. 7 les plans se projettant sur les traits pointillés sont des glismiroirs avec la translation b/2; on les nomme pour cette raison glismiroirs b; En effet on passe des boules noires 1 à 5 par glissymétrie avec la translation b/2 on passe d'ailleurs des boules $\alpha$ à $\beta$ par la même opération.

 

Figure 7:

Chaque boule blanche est au centre d'un rectangle formé par 4 boules noires (ainsi $\alpha$ au centre de 1, 2, 3, 4) et réciproquement comme dans le cas de la figure 6 ou chaque fleur blanche était au centre d'un rectangle formé par 4 fleurs noires et réciproquement. Il y a donc une analogie entre les structures des Figs 6 et 7, mais, dans ce dernier cas, le G.S.S. est p mb2 au lieu de p mm2 pour la figure 6 puisque les miroirs m₂ ont été transformés en glismiroirs b.

L'opération de symétrie b ne laisse aucun point du cristal inchangé: mb2 n'est donc pas un G.P.S. mais il a été engendré par le G.P.S. mm2 où m a été remplacé par le glismiroir b.

On dit donc que le G.P.S. du cristal de la Fig. 7 (de G.S.S. p mb2) est mm2. Comme pour la figure 6 on montre que la structure de la figure 7 est paraélectrique: en effet, on vérifie immédiatement que, si on considère une maille les centres de gravité des charges positives et des charges négatives coincide avec le centre de la maille.

Maintenant passons de la structure 7 a la structure 7$^{\prime}$ en déplaçant légèrement les boules blanches parallèlement à 0y, comme nous étions passés de la structure 6 à 6$^{\prime}$.Nous perdons alors les O.P.S. m et 2, et le G.S.S. de la structure 7$^{\prime}$ n'est plus p mb2, mais p b. En effet b est la seule opération de symétrie qui reste en dehors de l'identité.

De plus la structure devient ferroélectrique (comme la structure 6$^{\prime}$) avec un moment dipolaire $\mu$ dont la valeur est proportionelle au déplacement des ions positifs entre les structures 7 et 7$^{\prime}$. Sur cet exemple on justifie donc le principe de Neumann:

Les éléments de symétrie de toute propriété physique d'un cristal doivent inclure les éléments de symétrie du groupe ponctuel de symétrie de ce cristal (ou groupe au centre du cristal). En effet les translations ajoutées par les glismiroirs (ou par les axes hélicoïdaux dans l'espace à trois dimensions) s'ajoutent aux translations du réseau sans modifier en aucune façon les propriétés physiques du cristal.

On aurait pu présenter ces notions de façon plus rigoureuse: introduire par exemple les G.P.S. comme les sous-groupes du groupe orthogonal, démontrer qu'il n'y a que 32 G.P.S. cristallographiques$\dots$ Pour cette présentation consulter: Cristallographie et structure des solides, tome I, Algèbre et géométrie cristalline et moléculaire, D. Weigel, Masson, Paris 1972.

Pour la symétrie des propriétés physiques des cristaux consulter: Nye, Propriétés physiques des cristaux, Paris.

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